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慶應義塾大学 商学部・A方式 数学記述模試 第066回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三次方程式の実数解の個数（25点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-432x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=13,\ a_{n+2}=13a_{n+1}-12a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　反復試行と条件付き確率（25点）

公平な硬貨を12回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）

第4問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=144\\) の内部の点 \(Q(6,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-12)(x+12)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-12\) で極大、\(x=12\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }3456,\quad\text{極小値 }-3456} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-3456<a<3456} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a=3456\) では \(f(x)-a=(x-24)(x+12)^2\)。\(a=-3456\) では \(f(x)-a=(x+24)(x-12)^2\)。

\[ \boxed{a=3456:x=-12,24;\quad a=-3456:x=-24,12} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=12(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(12\) なので \(a_{n+1}-a_n=12^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{12^n-1}{11}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(12-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{12(12^n-1)-11n}{121}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=12a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-12a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(12\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{33}{2048}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{4095}{4096}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{22}{1365}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=6\) を円の式に代入する。\\(y^2=108\\)。

\[ \boxed{(6,\pm 6\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-6m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{144m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{144-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=12\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le12/2\)。面積の2乗は \(d^2(144-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(144-s)\) は \(0\le s\le144/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=36\sqrt{3},\quad x=6} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。