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慶應義塾大学 商学部・A方式 数学記述模試 第056回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三次方程式の実数解の個数（25点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2352x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=29,\ a_{n+2}=29a_{n+1}-28a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（25点）

表の確率が \(1/28\)、裏の確率が \(27/28\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）

第4問　空間の垂線と四面体（25点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(28,0,0),B(0,56,0),C(0,0,84) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-28)(x+28)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-28\) で極大、\(x=28\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }43904,\quad\text{極小値 }-43904} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-43904<a<43904} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a=43904\) では \(f(x)-a=(x-56)(x+28)^2\)。\(a=-43904\) では \(f(x)-a=(x+56)(x-28)^2\)。

\[ \boxed{a=43904:x=-28,56;\quad a=-43904:x=-56,28} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=28(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(28\) なので \(a_{n+1}-a_n=28^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{28^n-1}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(28-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{28(28^n-1)-27n}{729}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=28a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-28a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{784},\quad P(T=3)=\frac{27}{21952}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(p=1/28,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{812} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

1回の表までの平均は \(28\) 回なので合計2回の表までの平均は \(56\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=56,\quad\text{差}=756} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=168} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=168\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{144}{7},\frac{72}{7},\frac{48}{7}),\quad OH=24} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底面OABの面積は \(784\)、Cからこの底面までの高さは \(84\) なので体積は \(21952\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{2744} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。