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慶應義塾大学 商学部・A方式 数学記述模試 第010回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 46\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+529\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

第2問　重解を使う三次曲線の面積（25点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-1587x\) の \(x=23\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（25点）

表の確率が \(1/23\)、裏の確率が \(22/23\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）

第4問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=529\\) の内部の点 \(Q(\frac{23}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+529-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}529&t\le0\\529-t^2&0<t<46\\2645-92t&t\ge46\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-23\le t\le 23\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>23\) または \(t<-23\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>23\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(46)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(2645-92t\)。

\[ \boxed{23<t\le \frac{115}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(23)=0\) なので \(l:y=-24334\)。差は \((x-23)^2(x+46)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-46,-24334),\quad(23,-24334)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

区間 \([-46,23]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-46}^{23}(x^3-1587x+24334)\,dx \]

。原始関数は

\[ x^4/4-\frac{1587}{2}x^2+24334x \]

。

\[ \boxed{\frac{7555707}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{23}(f(x)+24334)\,dx=\frac{839523}{4} \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{529},\quad P(T=3)=\frac{22}{12167}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(p=1/23,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{552} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

1回の表までの平均は \(23\) 回なので合計2回の表までの平均は \(46\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=46,\quad\text{差}=506} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{23}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{1587}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{23}{2},\pm \frac{23}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{23}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{529m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{529-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=23\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le23/2\)。面積の2乗は \(d^2(529-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(529-s)\) は \(0\le s\le529/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{529}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{23}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。