関西大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第023回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第2問：合同な2円の交点と共通弦
- 第3問：双曲線の接線と不変な面積
- 第4問：回転軸を変える体積計算
- 第5問：抽出方法と条件付き確率
- 第6問：等差数列の一般項・和・境界
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ（17点）
\(0\le x\le 58\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+841\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）
第2問 合同な2円の交点と共通弦（17点）
中心O(0,0)、A(29,0)、半径がともに29の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）
第3問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=841\\) 上の点 \(P(t,841/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第4問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le29\) で曲線 \(y=x(29-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第5問 抽出方法と条件付き確率（16点）
袋に赤玉 \(29\) 個、青玉 \(58\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）
第6問 等差数列の一般項・和・境界（16点）
初項29、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）
（3）\(a_n\ge 87\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+841-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-29\le t\le 29\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
判別式より \(t>29\) または \(t<-29\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>29\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(58)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(4205-116t\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{29}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=841/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-841/t=-841(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(1682/t\)。その積が \(3364\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+1682/t\ge116\)。等号は \(t=29\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{29}x(29-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(29-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le841/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(29\pm\sqrt{841-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((29-1)/(87-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{58(58-1)}{87(87-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(29-1)<145-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。