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関西大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第090回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　空間の垂線と四面体（25点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(22,0,0),B(0,44,0),C(0,0,66) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）

第2問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(22\) 個、青玉 \(44\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第3問　直角三角形の三角比と内接円（25点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=22、AC=44とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（7点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（7点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（11点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le22\) とする。\(0\le x\le22\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=132} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=132\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{792}{49},\frac{396}{49},\frac{264}{49}),\quad OH=\frac{132}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底面OABの面積は \(484\)、Cからこの底面までの高さは \(66\) なので体積は \(10648\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{1694} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((22-1)/(66-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{7}{65}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{44(44-1)}{66(66-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{21}{109}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(22-1)<110-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{21}{109}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=22\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

面積は \(484\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{44}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=11(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le22\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{22}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-242a+\frac{10648}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-242\)。定義域内で \(a=22/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=11\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{5324}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。