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関西大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第078回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　線分上の点と内積・最大最小（25点）

\(O(0,0),B(56,0),C(0,28)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）

第2問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(28\) 個、青玉 \(56\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第3問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(28-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 147\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第4問　逆数で線形化し差を足す（25点）

\[ a_1=1/28,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（7点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（7点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(56(1-t),28t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\[ OP^2=784(5t^2-8t+4)=5784(t-4/5)^2+4784/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-56,28)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(\frac{56}{5},\frac{112}{5}),\quad\min OP=\frac{56}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

長方形の面積は \(1568t(1-t)=392-1568(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=392,\quad P=(28,14)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((28-1)/(84-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{9}{83}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{56(56-1)}{84(84-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{27}{139}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(28-1)<140-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{27}{139}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<28\)。\(x(28-x)=784/4-(x-28/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,784/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<28,\quad a\le\log_2 196} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 196:2\text{個};\quad a=\log_2 196:1\text{個};\quad a>\log_2 196:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(28-x)=147\) を解く。2つの解の和は \(28\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=7,\ 21} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+27}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{28}-\frac1{n+28}=\frac{n}{28(n+28)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+28}{28}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。