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関西大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第059回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　内分点・内積・三角形の面積（25点）

A(0,0)、B(26,0)、C(0,26)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（7点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（11点）

第2問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(13\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第3問　三次方程式の実数解の個数（25点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-507x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）

第4問　重解を使う三次曲線の面積（25点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-507x\) の \(x=13\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(13,0),\quad Q=(\frac{52}{3},\frac{26}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{\frac{676}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{\frac{169}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{13}=2290792932\)。全割当ては \(13!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{63633137}{172972800}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/13\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-13)(x+13)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-13\) で極大、\(x=13\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }4394,\quad\text{極小値 }-4394} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-4394<a<4394} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a=4394\) では \(f(x)-a=(x-26)(x+13)^2\)。\(a=-4394\) では \(f(x)-a=(x+26)(x-13)^2\)。

\[ \boxed{a=4394:x=-13,26;\quad a=-4394:x=-26,13} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(13)=0\) なので \(l:y=-4394\)。差は \((x-13)^2(x+26)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-26,-4394),\quad(13,-4394)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

区間 \([-26,13]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-26}^{13}(x^3-507x+4394)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-\frac{507}{2}x^2+4394x\\)。

\[ \boxed{\frac{771147}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{13}(f(x)+4394)\,dx=\frac{85683}{4} \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。