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関西大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第026回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　内積・角度とベクトルの射影（25点）

\[ \mathbf a=(32,1),\ \mathbf b=(1,32) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）

第2問　集合の包含と人数の計算（25点）

160人のクラスで、集合Aの人数は96人、集合Bは64人、両方に属する人数は32人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（7点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（7点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（11点）

第3問　三次方程式の実数解の個数（25点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-3072x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le32\) とする。\(0\le x\le32\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=64,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{1025}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{64}{1025}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=1025t^2-128t+1025 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{1046529}{1025},\quad t=\frac{64}{1025}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{128} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{32} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{96} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-32)(x+32)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-32\) で極大、\(x=32\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }65536,\quad\text{極小値 }-65536} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-65536<a<65536} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a=65536\) では \(f(x)-a=(x-64)(x+32)^2\)。\(a=-65536\) では \(f(x)-a=(x+64)(x-32)^2\)。

\[ \boxed{a=65536:x=-32,64;\quad a=-65536:x=-64,32} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le32\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{32}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-512a+\frac{32768}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-512\)。定義域内で \(a=32/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=16\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{16384}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。