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関西大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第002回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=576\\) の内部の点 \(Q(12,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）

1から48までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを24より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）

第3問　二次方程式の解の符号（25点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+576=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（11点）

第4問　逆数で線形化し差を足す（25点）

\[ a_1=1/24,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（7点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（7点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=12\) を円の式に代入する。\\(y^2=432\\)。

\[ \boxed{(12,\pm 12\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-12m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{576m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{576-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=24\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le24/2\)。面積の2乗は \(d^2(576-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(576-s)\) は \(0\le s\le576/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=144\sqrt{3},\quad x=12} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(24-\lfloor24/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{1}{2},\quad\text{独立である}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-576)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-24\ \text{または}\ t\ge24} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>24} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

解の積は \(576\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{576}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+23}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{24}-\frac1{n+24}=\frac{n}{24(n+24)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+24}{24}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。