金沢大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第084回
この回のテストポイント
- 第1問：三角関数の積分漸化式
- 第2問：絶対値の和と場合分け
- 第3問：双曲線の接線と不変な面積
- 第4問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第5問：抽出方法と条件付き確率
- 第6問：空間の垂線と四面体
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{8}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{9}\) を求めなさい。（7点）
第2問 絶対値の和と場合分け（17点）
\(f(x)=|x-4|+|x+4|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）
（3）不等式 \(f(x)\le 12\) を解きなさい。（7点）
第3問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=16\\) 上の点 \(P(t,16/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第4問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）
\(a_1=4,\ a_{n+1}=2a_n+4\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）
第5問 抽出方法と条件付き確率（16点）
袋に赤玉 \(4\) 個、青玉 \(8\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）
第6問 空間の垂線と四面体（16点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（4点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（4点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(4\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(4\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-4,4\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 12\)、\(2x\le 12\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=16/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-16/t=-16(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(32/t\)。その積が \(64\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+32/t\ge16\)。等号は \(t=4\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+4=2(a_n+4)\) なので \(a_n+4=8\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a_j/2^j=4(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((4-1)/(12-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{8(8-1)}{12(12-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(4-1)<20-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=24\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
底面OABの面積は \(16\)、Cからこの底面までの高さは \(12\) なので体積は \(64\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。