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金沢大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第076回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le32\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{32}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第2問　三次方程式の実数解の個数（17点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-3072x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）

第3問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=32,B=32i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=33,\ a_{n+2}=33a_{n+1}-32a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第5問　抽出方法と条件付き確率（16点）

袋に赤玉 \(32\) 個、青玉 \(64\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第6問　合同な2円の交点と共通弦（16点）

中心O(0,0)、A(32,0)、半径がともに32の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（4点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<32\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log32+1}{32}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-32)(x+32)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-32\) で極大、\(x=32\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }65536,\quad\text{極小値 }-65536} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-65536<a<65536} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=65536\) では \(f(x)-a=(x-64)(x+32)^2\)。\(a=-65536\) では \(f(x)-a=(x+64)(x-32)^2\)。

\[ \boxed{a=65536:x=-32,64;\quad a=-65536:x=-64,32} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=16(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=32\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=512\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{16}{3}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{32}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=32(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(32\) なので \(a_{n+1}-a_n=32^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{32^n-1}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(32-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{32(32^n-1)-31n}{961}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=32a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-32a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((32-1)/(96-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{31}{285}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{64(64-1)}{96(96-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{31}{159}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(32-1)<160-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{31}{159}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(16\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(16,16\sqrt{3}),\quad Q=(16,-16\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{32\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{256\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。