金沢大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第060回
この回のテストポイント
- 第1問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第2問：絶対値の和と場合分け
- 第3問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第4問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第5問：抽出方法と条件付き確率
- 第6問：線分上の点と内積・最大最小
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 指数関数の最大値と積分の極限（17点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-15x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）
第2問 絶対値の和と場合分け（17点）
\(f(x)=|x-15|+|x+15|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）
（3）不等式 \(f(x)\le 45\) を解きなさい。（7点）
第3問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）
複素数zが \(|z-15|=2|z+15|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）
第4問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）
\(a_1=15,\ a_{n+1}=2a_n+15\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）
第5問 抽出方法と条件付き確率（16点）
袋に赤玉 \(15\) 個、青玉 \(30\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）
第6問 線分上の点と内積・最大最小（16点）
\(O(0,0),B(30,0),C(0,15)\) とする。Pは線分BC上を動く。
（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（4点）
（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（4点）
（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-15x}(1-15x)\)。指数因子は正なので \(x=1/15\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{15x+1}{225}e^{-15x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(e^{-15a}\) と \(ae^{-15a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-15,15\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 45\)、\(2x\le 45\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-15)^2+y^2=4((x+15)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
原点から中心までの距離は \(75/3\)、半径は \(60/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-15w|=2|1+15w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+15=2(a_n+15)\) なので \(a_n+15=30\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a_j/2^j=15(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((15-1)/(45-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{30(30-1)}{45(45-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(15-1)<75-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 線分上の点と内積・最大最小
（1）
\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-30,15)\) とOPの内積は0。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
長方形の面積は
。端点では面積0、内部の頂点で最大。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。