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金沢大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第050回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-31x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第2問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-62x+930\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第3問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{3844}+\frac{y^2}{961}=1 \]

の第1象限の点 \(P(62\cos t,31\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=32,\ a_{n+2}=32a_{n+1}-31a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第5問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（16点）

1から62までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを31より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（4点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（4点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（8点）

第6問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(31,1),\ \mathbf b=(1,31) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-31x}(1-31x)\)。指数因子は正なので \(x=1/31\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{31},\quad\max f=\frac1{31e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{31x+1}{961}e^{-31x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(31a+1)e^{-31a}}{961}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-31a}\) と \(ae^{-31a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{961}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-31)^2-31\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-31,\quad x=31} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-31)^2=31\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=31\pm\sqrt{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{31-\sqrt{31}\le x\le 31+\sqrt{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{62}+\frac{y\sin t}{31}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(62/\cos t\)、\(31/\sin t\)。面積は \(961/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1922,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(961\(1-x^2/3844\)\)。\(-62\le x\le62\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{238328}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=31(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(31\) なので \(a_{n+1}-a_n=31^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{31^n-1}{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(31-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{31(31^n-1)-30n}{900}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=31a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-31a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(31-\lfloor31/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{8}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{16}{31},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=62,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{962}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{31}{481}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=962t^2-124t+962 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{460800}{481},\quad t=\frac{31}{481}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。