金沢大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第021回
この回のテストポイント
- 第1問：対数の評価と部分積分
- 第2問：三次方程式の実数解の個数
- 第3問：楕円の接線と切片・回転体
- 第4問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第5問：抽出方法と条件付き確率
- 第6問：円の弦と三角形の面積の最大化
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le17\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第2問 三次方程式の実数解の個数（17点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-867x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）
第3問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(34\cos t,17\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第4問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-51x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=17\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{51} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第5問 抽出方法と条件付き確率（16点）
袋に赤玉 \(17\) 個、青玉 \(34\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化（16点）
円 \\(x^2+y^2=289\\) の内部の点 \(Q(\frac{17}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<17\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-17)(x+17)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-17\) で極大、\(x=17\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=9826\) では \(f(x)-a=(x-34)(x+17)^2\)。\(a=-9826\) では \(f(x)-a=(x+34)(x-17)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(34/\cos t\)、\(17/\sin t\)。面積は \(289/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(289\(1-x^2/1156\)\)。\(-34\le x\le34\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-34)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=34で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-867\)、接点のy座標は \(-9826\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((17-1)/(51-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{34(34-1)}{51(51-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(17-1)<85-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{17}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{867}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{17}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{289m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{289-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le17/2\)。面積の2乗は \(d^2(289-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(289-s)\) は \(0\le s\le289/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。