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金沢大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第007回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{19+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{19n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第2問　定義域のある二次関数とパラメータ（17点）

\(0\le x\le 38\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+361\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-19|=2|z+19|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=20,\ a_{n+2}=20a_{n+1}-19a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第5問　集合の包含と人数の計算（16点）

95人のクラスで、集合Aの人数は57人、集合Bは38人、両方に属する人数は19人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（4点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（4点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（8点）

第6問　合同な2円の交点と共通弦（16点）

中心O(0,0)、A(19,0)、半径がともに19の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（4点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{19+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{19+j/n} \]

は \(g(x)=1/(19+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{19+x}\,dx=[\frac23(19+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(40\sqrt{5}-19\sqrt{19})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{19+x}\,dx=[\log(19+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{20}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+361-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}361&t\le0\\361-t^2&0<t<38\\1805-76t&t\ge38\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-19\le t\le 19\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le19} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>19\) または \(t<-19\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>19\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(38)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(1805-76t\)。

\[ \boxed{19<t\le \frac{95}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-19)^2+y^2=4((x+19)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{95}{3})^2+y^2=\frac{5776}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(95/3\)、半径は \(76/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=57\ (z=-57),\quad\min|z|=\frac{19}{3}\ (z=-\frac{19}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-19w|=2|1+19w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{57})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{3249}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=19(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(19\) なので \(a_{n+1}-a_n=19^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{19^n-1}{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(19-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{19(19^n-1)-18n}{324}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=19a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-19a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{76} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{19} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{57} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{19}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{19}{2},\frac{19}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{19}{2},-\frac{19}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{19\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{361}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。