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日本女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第096回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(29)=0\)、\(P(-29)=48778\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-58\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-29|+|x+29|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 87\) を解きなさい。（7点）

第3問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=29、AC=58、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^29=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{28}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{28}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{28}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第5問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{29+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{29n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

第6問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(29,1),\ \mathbf b=(1,29) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1682,\quad b=24389} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-29)\(x^2+29x-841\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=29,\frac{29}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{121945} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-29,29\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-29\\58&-29\le x\le29\\2x&x>29\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=58,\quad -29\le x\le29} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 87\)、\(2x\le 87\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{87}{2}\le x\le \frac{87}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=841+3364-3364\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{29\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{841}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{29} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(29\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{28}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{29}+i\sin\frac{2\pi j}{29},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{58} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^29-1=(z-1)\prod_{j=1}^{28}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{28}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{29} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{29+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{29+j/n} \]

は \(g(x)=1/(29+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{29+x}\,dx=[\frac23(29+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(30\sqrt{30}-29\sqrt{29})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{29+x}\,dx=[\log(29+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{30}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=58,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{842}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{29}{421}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=842t^2-116t+842 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{352800}{421},\quad t=\frac{29}{421}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。