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日本女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第082回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　円と直線の交点数・弦の長さ（17点）

円 \\(x^2+y^2=169\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）

第2問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+169=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第3問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=13、AC=26、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=169\\) 上の点 \(P(t,169/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le13\) で曲線 \(y=x(13-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

第6問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(13,1),\ \mathbf b=(1,13) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-169=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-13\sqrt2\le a\le13\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm13\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{676-2a^2},\quad\max L=26\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-169)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-13\ \text{または}\ t\ge13} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>13} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(169\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{169}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=169+676-676\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{13\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{169}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{13} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=169/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-169/t=-169(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{169}=2,\quad(2t,0),(0,338/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(338/t\)。その積が \(676\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{338} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+338/t\ge52\)。等号は \(t=13\) のとき。

\[ \boxed{\min=52,\quad P=(13,13)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{13}x(13-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{2197}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(13-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{13}x^2(13-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{371293}{30}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le169/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(13\pm\sqrt{169-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=13\pi\sqrt{169-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{28561}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=26,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{170}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{13}{85}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=170t^2-52t+170 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{14112}{85},\quad t=\frac{13}{85}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。