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日本女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第016回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(30)=0\)、\(P(-30)=54000\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-60\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-60x+870\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第3問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を30回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第4問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{3600}+\frac{y^2}{900}=1 \]

の第1象限の点 \(P(60\cos t,30\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第5問　対数の評価と部分積分（16点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le30\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（4点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（4点）

（3）

\[ \int_1^{30}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（8点）

第6問　部分分数分解と有限和の評価（16点）

\(a_n=\frac1{(n+30)(n+31)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（4点）

（3）\(S_n\ge\frac1{62}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1800,\quad b=27000} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-30)\(x^2+30x-900\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=30,15(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{135000} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-30)^2-30\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-30,\quad x=30} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-30)^2=30\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=30\pm\sqrt{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{30-\sqrt{30}\le x\le 30+\sqrt{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(30\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{435}{1073741824}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{1073741823}{1073741824}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{145}{357913941}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{60}+\frac{y\sin t}{30}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(60/\cos t\)、\(30/\sin t\)。面積は \(900/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1800,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(900\(1-x^2/3600\)\)。\(-60\le x\le60\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{72000\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<30\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log30+1}{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+30}-\frac1{n+31}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{31(n+31)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{31} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。