順天堂大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第073回
この回のテストポイント
- 第1問：抽出方法と条件付き確率
- 第2問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第3問：部分分数分解と有限和の評価
- 第4問：空間の垂線と四面体
- 第5問：1の累乗根と積・距離の和
- 第6問：区分求積と和の極限
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 抽出方法と条件付き確率（17点）
袋に赤玉 \(3\) 個、青玉 \(6\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）
第2問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=3\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第3問 部分分数分解と有限和の評価（17点）
\(a_n=\frac1{(n+3)(n+4)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）
（3）\(S_n\ge\frac1{8}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第4問 空間の垂線と四面体（17点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）
第5問 1の累乗根と積・距離の和（16点）
方程式 \(z^3=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{2}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）
（2）\(\sum_{j=0}^{2}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）
（3）\(\prod_{j=1}^{2}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）
第6問 区分求積と和の極限（16点）
正の整数nについて、
、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{3n+j}\) とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((3-1)/(9-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{6(6-1)}{9(9-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(3-1)<15-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=3\)、\(f(1)=-2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-6t^2=0\) の解は0と \(1/6\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=18\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底面OABの面積は \(9\)、Cからこの底面までの高さは \(9\) なので体積は \(27\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(3\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{2}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{2}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{3+x}\)、
は \(g(x)=1/(3+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。