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順天堂大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第057回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉64個、青玉32個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第2問　データの変換と分散（17点）

5個のデータは \(30,31,32,33,34\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=33,\ a_{n+2}=33a_{n+1}-32a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ（17点）

円 \\(x^2+y^2=1024\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）

第5問　1の累乗根と積・距離の和（16点）

方程式 \(z^32=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{31}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）

（2）\(\sum_{j=0}^{31}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）

（3）\(\prod_{j=1}^{31}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）

第6問　三角関数の積分漸化式（16点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）

（2）\(I_{64}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(I_{65}\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{2016}{4465}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(32\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=32,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=67,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=32(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(32\) なので \(a_{n+1}-a_n=32^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{32^n-1}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(32-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{32(32^n-1)-31n}{961}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=32a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-32a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-1024=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-32\sqrt2\le a\le32\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm32\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{4096-2a^2},\quad\max L=64\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(32\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{31}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{32}+i\sin\frac{2\pi j}{32},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{64} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ z^32-1=(z-1)\prod_{j=1}^{31}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{31}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{32} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(32\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{916312070471295267}{18446744073709551616}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(32\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{9223372036854775808}{59560284580634192355}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。