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順天堂大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第054回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　完全順列の漸化式と固定点（17点）

\(9\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（5点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（5点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（7点）

第2問　直角三角形の三角比と内接円（17点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=9、AC=18とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項9、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第4問　放物線の接線と囲まれた面積（17点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-81)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）

第5問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=81\\) 上の点 \(P(t,81/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

第6問　三角関数の積分漸化式（16点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）

（2）\(I_{18}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(I_{19}\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{9}=133496\)。全割当ては \(9!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{16687}{45360}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/9\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=9\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

面積は \(81\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{18}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=\frac{9}{2}(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=9\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=9(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=3(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=81\)。

\[ \boxed{y=18x-81,\quad y=-18x-81} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

接点は \((\pm9,81)\)。底辺の長さは \(18\)、Pから底辺までの高さは \(162\)。

\[ \boxed{1458} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-9)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{9}(x-9)^2\,dx\)。

\[ \boxed{486} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=81/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-81/t=-81(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{81}=2,\quad(2t,0),(0,162/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(162/t\)。その積が \(324\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{162} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+162/t\ge36\)。等号は \(t=9\) のとき。

\[ \boxed{\min=36,\quad P=(9,9)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(9\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{12155}{131072}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(9\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{65536}{230945}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。