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順天堂大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第021回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を26回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第2問　直角三角形の三角比と内接円（17点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=26、AC=52とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=27,\ a_{n+2}=27a_{n+1}-26a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第4問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(26,0,0),B(0,52,0),C(0,0,78) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第5問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=26,B=26i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le26\) で曲線 \(y=x(26-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(26\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{325}{67108864}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{67108863}{67108864}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{325}{67108863}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=26\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

面積は \(676\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{52}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=13(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=26(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(26\) なので \(a_{n+1}-a_n=26^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{26^n-1}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(26-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{26(26^n-1)-25n}{625}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=26a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-26a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=156} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=156\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{936}{49},\frac{468}{49},\frac{312}{49}),\quad OH=\frac{156}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(676\)、Cからこの底面までの高さは \(78\) なので体積は \(17576\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{2366} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=13(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=26\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=338\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{13}{3}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{26}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{26}x(26-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{8788}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(26-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{26}x^2(26-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{5940688}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le676/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(26\pm\sqrt{676-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=26\pi\sqrt{676-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{228488}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。