順天堂大学 国際教養・数学I・A 数学記述模試 第057回
この回のテストポイント
- 第1問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
- 第2問：合同な2円の交点と共通弦
- 第3問：二次方程式の解の符号
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（34点）
1から10までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを5より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（10点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（10点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（14点）
第2問 合同な2円の交点と共通弦（33点）
中心O(0,0)、A(5,0)、半径がともに5の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（9点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（9点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（15点）
第3問 二次方程式の解の符号（33点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+25=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（9点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（9点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（15点）
解答・解説
第1問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(5-\lfloor5/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{5}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-25)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
解の積は \(25\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。