東京慈恵会医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第039回
この回のテストポイント
- 第1問：楕円の接線と切片・回転体
- 第2問：等周条件と三角形の面積
- 第3問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第4問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第5問：完全順列の漸化式と固定点
- 第6問：回転軸を変える体積計算
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(40\cos t,20\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第2問 等周条件と三角形の面積（17点）
周の長さが \(120\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）
\(a_1=20,\ a_{n+1}=2a_n+20\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）
第4問 剰余定理と三次式の因数分解（17点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(20)=0\)、\(P(-20)=16000\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（5点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）
（3）P(x)を \(x-40\) で割った余りを求めなさい。（7点）
第5問 完全順列の漸化式と固定点（16点）
\(20\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（4点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（4点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）
第6問 回転軸を変える体積計算（16点）
\(0\le x\le20\) で曲線 \(y=x(20-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（4点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(40/\cos t\)、\(20/\sin t\)。面積は \(400/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(400\(1-x^2/1600\)\)。\(-40\le x\le40\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=120-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=60(60-a)^2(2a-60)\)。微分すると \((S^2)'=360(60-a)(40-a)\)。存在範囲で \(a=40\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
半周長は \(60\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=60r\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+20=2(a_n+20)\) なので \(a_n+20=40\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a_j/2^j=20(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(P(x)=(x-20)\(x^2+20x-400\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{20}=895014631192902121\)。全割当ては \(20!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/20\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{20}x(20-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切り口は半径 \(x(20-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(0\le y\le400/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(20\pm\sqrt{400-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。