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東京慈恵会医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第028回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^13=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{12}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{12}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{12}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第2問　放物線の接線と囲まれた面積（17点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-169)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）

第3問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le13\) とする。\(0\le x\le13\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第4問　三角関数を二次関数に置き換える（17点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+13\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=13\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）

第5問　抽出方法と条件付き確率（16点）

袋に赤玉 \(13\) 個、青玉 \(26\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{13+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{13n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(13\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{12}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{13}+i\sin\frac{2\pi j}{13},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{26} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^13-1=(z-1)\prod_{j=1}^{12}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{12}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{13} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=169\)。

\[ \boxed{y=26x-169,\quad y=-26x-169} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

接点は \((\pm13,169)\)。底辺の長さは \(26\)、Pから底辺までの高さは \(338\)。

\[ \boxed{4394} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-13)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{13}(x-13)^2\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{4394}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le13\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{13}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{169}{2}a+\frac{2197}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{169}{2}\)。定義域内で \(a=13/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{13}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{2197}{6}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=13+t-26t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平方完成より

\[ f=13+\frac1{104}-26(t-\frac1{52})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=13\)、\(f(1)=-12\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{1353}{104}\ (\sin\theta=\frac1{52}),\quad\min f=-12\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(t-26t^2=0\) の解は0と \(1/26\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((13-1)/(39-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{2}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{26(26-1)}{39(39-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{3}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(13-1)<65-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{3}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{13+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{13+j/n} \]

は \(g(x)=1/(13+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{13+x}\,dx=[\frac23(13+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(14\sqrt{14}-13\sqrt{13})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{13+x}\,dx=[\log(13+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{14}{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。