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東京慈恵会医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第026回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=13,B=13i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第2問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(13,0,0),B(0,26,0),C(0,0,39) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第3問　逆数で線形化し差を足す（17点）

\[ a_1=1/13,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（7点）

第4問　三次方程式の実数解の個数（17点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-507x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）

第5問　停止する試行と期待値の連立（16点）

表の確率が \(1/13\)、裏の確率が \(12/13\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（4点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（4点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（8点）

第6問　三角関数の積分漸化式（16点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）

（2）\(I_{26}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(I_{27}\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{13}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=13\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{169}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{13}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{13}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=78} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=78\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{468}{49},\frac{234}{49},\frac{156}{49}),\quad OH=\frac{78}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(169\)、Cからこの底面までの高さは \(39\) なので体積は \(2197\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{1183}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+12}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{13}-\frac1{n+13}=\frac{n}{13(n+13)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+13}{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-13)(x+13)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-13\) で極大、\(x=13\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }4394,\quad\text{極小値 }-4394} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-4394<a<4394} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=4394\) では \(f(x)-a=(x-26)(x+13)^2\)。\(a=-4394\) では \(f(x)-a=(x+26)(x-13)^2\)。

\[ \boxed{a=4394:x=-13,26;\quad a=-4394:x=-26,13} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{169},\quad P(T=3)=\frac{12}{2197}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(p=1/13,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{182} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

1回の表までの平均は \(13\) 回なので合計2回の表までの平均は \(26\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=26,\quad\text{差}=156} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(13\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{1300075}{16777216}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(13\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{8388608}{35102025}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。