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自治医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第064回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+21)(n+22)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{44}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第2問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le21\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{21}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第3問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+441=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第4問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=21、AC=42、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-21|=2|z+21|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

第6問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（16点）

1から42までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを21より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（4点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（4点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+21}-\frac1{n+22}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{22(n+22)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{22} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<21\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log21+1}{21}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-441)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-21\ \text{または}\ t\ge21} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>21} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(441\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{441}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=441+1764-1764\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{21\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{441}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{21} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-21)^2+y^2=4((x+21)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+35)^2+y^2=784} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(105/3\)、半径は \(84/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=63\ (z=-63),\quad\min|z|=7\ (z=-7)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-21w|=2|1+21w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{63})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{3969}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(21-\lfloor21/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{11}{42}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{11}{21},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。