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自治医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第058回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　重解を使う三次曲線の面積（17点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-27x\) の \(x=3\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（5点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（5点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（7点）

第2問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{6}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{7}\) を求めなさい。（7点）

第3問　三次方程式の実数解の個数（17点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-27x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）

第4問　放物線の接線と囲まれた面積（17点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-9)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）

第5問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=3,B=3i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　反復試行と条件付き確率（16点）

公平な硬貨を3回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(3)=0\) なので \(l:y=-54\)。差は \((x-3)^2(x+6)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-6,-54),\quad(3,-54)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

区間 \([-6,3]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-6}^{3}(x^3-27x+54)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-\frac{27}{2}x^2+54x\\)。

\[ \boxed{\frac{2187}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{3}(f(x)+54)\,dx=\frac{243}{4} \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(3\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{5}{32}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(3\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{16}{35}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-3)(x+3)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-3\) で極大、\(x=3\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }54,\quad\text{極小値 }-54} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-54<a<54} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=54\) では \(f(x)-a=(x-6)(x+3)^2\)。\(a=-54\) では \(f(x)-a=(x+6)(x-3)^2\)。

\[ \boxed{a=54:x=-3,6;\quad a=-54:x=-6,3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=9\)。

\[ \boxed{y=6x-9,\quad y=-6x-9} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

接点は \((\pm3,9)\)。底辺の長さは \(6\)、Pから底辺までの高さは \(18\)。

\[ \boxed{54} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-3)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{3}(x-3)^2\,dx\)。

\[ \boxed{18} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{3}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=3\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{9}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{1}{2}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(3\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{3}{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{7}{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{3}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。