東京科学大学 理工学系・前期 数学記述模試 第100回
この回のテストポイント
- 第1問：重解を使う三次曲線の面積
- 第2問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第3問：反射による経路の数え上げ
- 第4問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第5問：双曲線の接線と不変な面積
- 第6問：指数関数の最大値と積分の極限
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 重解を使う三次曲線の面積（17点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-1200x\) の \(x=20\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（5点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（5点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（7点）
第2問 定義域のある二次関数とパラメータ（17点）
\(0\le x\le 40\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+400\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）
第3問 反射による経路の数え上げ（17点）
数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(40\) 回動かす。
（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（5点）
（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（5点）
（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（7点）
第4問 放物線の接線と囲まれた面積（17点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-400)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）
第5問 双曲線の接線と不変な面積（16点）
第1象限の双曲線 \\(xy=400\\) 上の点 \(P(t,400/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）
第6問 指数関数の最大値と積分の極限（16点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-20x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(20)=0\) なので \(l:y=-16000\)。差は \((x-20)^2(x+40)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
区間 \([-40,20]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-600x^2+16000x\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+400-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-20\le t\le 20\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
判別式より \(t>20\) または \(t<-20\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>20\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(40)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(2000-80t\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 反射による経路の数え上げ
（1）
右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(20\) 回。右への移動の位置を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(21\) 回、左が \(19\) 回なので \(\binom{40}{19}\) 個。全体から差し引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{40}{20}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/21\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=400\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
接点は \((\pm20,400)\)。底辺の長さは \(40\)、Pから底辺までの高さは \(800\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-20)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{20}(x-20)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=400/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-400/t=-400(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切片は \(2t\) と \(800/t\)。その積が \(1600\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+800/t\ge80\)。等号は \(t=20\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-20x}(1-20x)\)。指数因子は正なので \(x=1/20\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{20x+1}{400}e^{-20x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(e^{-20a}\) と \(ae^{-20a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。