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東京科学大学 理工学系・前期 数学記述模試 第087回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=26,\ a_{n+2}=26a_{n+1}-25a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第2問　定義域のある二次関数とパラメータ（17点）

\(0\le x\le 50\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+625\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（17点）

表の確率が \(1/25\)、裏の確率が \(24/25\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）

第4問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(25,0,0),B(0,50,0),C(0,0,75) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第5問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=625\\) 上の点 \(P(t,625/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{25+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{25n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=25(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(25\) なので \(a_{n+1}-a_n=25^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{25^n-1}{24}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(25-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{25(25^n-1)-24n}{576}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=25a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-25a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+625-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}625&t\le0\\625-t^2&0<t<50\\3125-100t&t\ge50\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-25\le t\le 25\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le25} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>25\) または \(t<-25\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>25\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(50)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(3125-100t\)。

\[ \boxed{25<t\le \frac{125}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{625},\quad P(T=3)=\frac{24}{15625}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(p=1/25,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{650} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

1回の表までの平均は \(25\) 回なので合計2回の表までの平均は \(50\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=50,\quad\text{差}=600} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=150} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=150\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{900}{49},\frac{450}{49},\frac{300}{49}),\quad OH=\frac{150}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(625\)、Cからこの底面までの高さは \(75\) なので体積は \(15625\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{4375}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=625/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-625/t=-625(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{625}=2,\quad(2t,0),(0,1250/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1250/t\)。その積が \(2500\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1250} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1250/t\ge100\)。等号は \(t=25\) のとき。

\[ \boxed{\min=100,\quad P=(25,25)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{25+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{25+j/n} \]

は \(g(x)=1/(25+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{25+x}\,dx=[\frac23(25+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(26\sqrt{26}-125)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{25+x}\,dx=[\log(25+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{26}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。