東京科学大学 理工学系・前期 数学記述模試 第031回
この回のテストポイント
- 第1問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第2問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第3問：抽出方法と条件付き確率
- 第4問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第5問：双曲線の接線と不変な面積
- 第6問：三角関数の積分漸化式
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）
\(a_1=11,\ a_{n+1}=2a_n+11\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）
第2問 定義域のある二次関数とパラメータ（17点）
\(0\le x\le 22\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+121\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）
第3問 抽出方法と条件付き確率（17点）
袋に赤玉 \(11\) 個、青玉 \(22\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）
第4問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=121\\) の内部の点 \(Q(\frac{11}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第5問 双曲線の接線と不変な面積（16点）
第1象限の双曲線 \\(xy=121\\) 上の点 \(P(t,121/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）
第6問 三角関数の積分漸化式（16点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）
（2）\(I_{22}\) を求めなさい。（4点）
（3）\(I_{23}\) を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+11=2(a_n+11)\) なので \(a_n+11=22\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a_j/2^j=11(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+121-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-11\le t\le 11\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
判別式より \(t>11\) または \(t<-11\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>11\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(22)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(605-44t\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((11-1)/(33-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{22(22-1)}{33(33-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(11-1)<55-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{11}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{363}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{11}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{121m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{121-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le11/2\)。面積の2乗は \(d^2(121-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(121-s)\) は \(0\le s\le121/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=121/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-121/t=-121(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切片は \(2t\) と \(242/t\)。その積が \(484\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+242/t\ge44\)。等号は \(t=11\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(11\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(11\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。