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兵庫医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第055回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-29|+|x+29|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 87\) を解きなさい。（7点）

第2問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=841\\) 上の点 \(P(t,841/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第3問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=29、AC=58、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）

1から58までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを29より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）

第5問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le29\) で曲線 \(y=x(29-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

第6問　逆数で線形化し差を足す（16点）

\[ a_1=1/29,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（4点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-29,29\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-29\\58&-29\le x\le29\\2x&x>29\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=58,\quad -29\le x\le29} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 87\)、\(2x\le 87\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{87}{2}\le x\le \frac{87}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=841/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-841/t=-841(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{841}=2,\quad(2t,0),(0,1682/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1682/t\)。その積が \(3364\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1682} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1682/t\ge116\)。等号は \(t=29\) のとき。

\[ \boxed{\min=116,\quad P=(29,29)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=841+3364-3364\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{29\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{841}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{29} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(29-\lfloor29/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{15}{58}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{15}{29},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{29}x(29-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{24389}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(29-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{29}x^2(29-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{20511149}{30}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le841/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(29\pm\sqrt{841-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=29\pi\sqrt{841-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{707281}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+28}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{29}-\frac1{n+29}=\frac{n}{29(n+29)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+29}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。