J 受験ヒーロー

兵庫医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第012回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　直角三角形の三角比と内接円（17点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=6、AC=12とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）

第2問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-6|=2|z+6|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第3問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,12,0),C(0,0,18) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第4問　反射による経路の数え上げ（17点）

数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(12\) 回動かす。

（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（5点）

（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（5点）

（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（7点）

第5問　三角関数の積分漸化式（16点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）

（2）\(I_{12}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(I_{13}\) を求めなさい。（8点）

第6問　絶対値を含む面積の最適化（16点）

\(0\le a\le6\) とする。\(0\le x\le6\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（4点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（4点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=6\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

面積は \(36\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{12}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=3(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-6)^2+y^2=4((x+6)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+10)^2+y^2=64} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(30/3\)、半径は \(24/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=18\ (z=-18),\quad\min|z|=2\ (z=-2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-6w|=2|1+6w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{18})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{4}{81}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=36} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=36\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{216}{49},\frac{108}{49},\frac{72}{49}),\quad OH=\frac{36}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(36\)、Cからこの底面までの高さは \(18\) なので体積は \(216\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{126} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　反射による経路の数え上げ

（1）

右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(6\) 回。右への移動の位置を選ぶ。

\[ \boxed{924} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(7\) 回、左が \(5\) 回なので \(\binom{12}{5}\) 個。全体から差し引く。

\[ \boxed{132} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{12}{6}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/7\)。

\[ \boxed{\frac{1}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(6\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{231}{2048}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(6\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{1024}{3003}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le6\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{6}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-18a+72} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(S'(a)=a^2-18\)。定義域内で \(a=6/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=3\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=36(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。