兵庫県立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第097回
この回のテストポイント
- 第1問：楕円の接線と切片・回転体
- 第2問：回転軸を変える体積計算
- 第3問：反復試行と条件付き確率
- 第4問：データの変換と分散
- 第5問：対数の真数条件と単調性
- 第6問：内分点・内積・三角形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(40\cos t,20\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第2問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le20\) で曲線 \(y=x(20-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第3問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を20回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第4問 データの変換と分散（17点）
5個のデータは \(18,19,20,21,22\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）
第5問 対数の真数条件と単調性（16点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-20)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（4点）
（2）\(F(x)=\log_2 800\) を解きなさい。（4点）
（3）\(F(x)\le\log_2 800\) を解きなさい。（8点）
第6問 内分点・内積・三角形の面積（16点）
A(0,0)、B(40,0)、C(0,40)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（4点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(40/\cos t\)、\(20/\sin t\)。面積は \(400/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(400\(1-x^2/1600\)\)。\(-40\le x\le40\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{20}x(20-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(20-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le400/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(20\pm\sqrt{400-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(20\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(20\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-20)=800\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。