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兵庫県立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第080回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^16=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{15}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{15}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{15}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第2問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{32}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{33}\) を求めなさい。（7点）

第3問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(16,0)、半径がともに16の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第4問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-16|+|x+16|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 48\) を解きなさい。（7点）

第5問　対数の真数条件と単調性（16点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-16)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（4点）

（2）\(F(x)=\log_2 512\) を解きなさい。（4点）

（3）\(F(x)\le\log_2 512\) を解きなさい。（8点）

第6問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(16,1),\ \mathbf b=(1,16) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(16\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{15}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{16}+i\sin\frac{2\pi j}{16},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^16-1=(z-1)\prod_{j=1}^{15}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{15}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{16} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(16\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{300540195}{4294967296}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(16\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{2147483648}{9917826435}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(8\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(8,8\sqrt{3}),\quad Q=(8,-8\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{16\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{64\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-16,16\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-16\\32&-16\le x\le16\\2x&x>16\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=32,\quad -16\le x\le16} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 48\)、\(2x\le 48\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-24\le x\le 24} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>16} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-16)=512\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{16<x\le32} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=32,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{257}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{32}{257}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=257t^2-64t+257 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{65025}{257},\quad t=\frac{32}{257}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。