J 受験ヒーロー

兵庫県立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第035回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^17=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{16}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{16}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{16}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第2問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{17+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{17n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第3問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子17人、女子17人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第4問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-17|+|x+17|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 51\) を解きなさい。（7点）

第5問　三次関数の増減・接線・定積分（16点）

\(f(x)=x^3-51x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）\(x=17\) における接線を求めなさい。（4点）

（3）\(\int_0^{51} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）

第6問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(17,1),\ \mathbf b=(1,17) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(17\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{16}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{17}+i\sin\frac{2\pi j}{17},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{34} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^17-1=(z-1)\prod_{j=1}^{16}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{16}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{17} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{17+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{17+j/n} \]

は \(g(x)=1/(17+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{17+x}\,dx=[\frac23(17+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(54\sqrt{2}-17\sqrt{17})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{17+x}\,dx=[\log(17+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{18}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{5984} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{2312} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{4624} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-17,17\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-17\\34&-17\le x\le17\\2x&x>17\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=34,\quad -17\le x\le17} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 51\)、\(2x\le 51\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{51}{2}\le x\le \frac{51}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-34)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=34で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-19652} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

傾きは \(-867\)、接点のy座標は \(-9826\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-867x+4913} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{2255067}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=34,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{290}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{17}{145}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=290t^2-68t+290 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{41472}{145},\quad t=\frac{17}{145}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。