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法政大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第093回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等差数列の一般項・和・境界（17点）

初項23、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(a_n\ge 69\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第2問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le23\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{23}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第3問　完全順列の漸化式と固定点（17点）

\(23\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（5点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（5点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（7点）

第4問　線分上の点と内積・最大最小（17点）

\(O(0,0),B(46,0),C(0,23)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（5点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（5点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（7点）

第5問　三角関数を二次関数に置き換える（16点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+23\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（4点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（4点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=23\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=23,B=23i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=23+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+22)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{24} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<23\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log23+1}{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{23}=9510425471055777937262 \]

。全割当ては \(23!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{39299278806015611311}{106826515449937920000}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/23\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(46(1-t),23t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ OP^2=529(5t^2-8t+4)=5529(t-4/5)^2+4529/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-46,23)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(\frac{46}{5},\frac{92}{5}),\quad\min OP=\frac{46}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

長方形の面積は

\[ 1058t(1-t)=\frac{529}{2}-1058(t-1/2)^2 \]

。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=\frac{529}{2},\quad P=(23,\frac{23}{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=23+t-46t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

平方完成より

\[ f=23+\frac1{184}-46(t-\frac1{92})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=23\)、\(f(1)=-22\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{4233}{184}\ (\sin\theta=\frac1{92}),\quad\min f=-22\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(t-46t^2=0\) の解は0と \(1/46\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{46}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{23}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=23\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{529}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{23}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{23}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。