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法政大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第071回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=27,\ a_{n+2}=27a_{n+1}-26a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第2問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le26\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{26}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第3問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉52個、青玉26個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第4問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(156\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　三次方程式の実数解の個数（16点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2028x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（4点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）

第6問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=676\\) 上の点 \(P(t,676/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=26(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(26\) なので \(a_{n+1}-a_n=26^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{26^n-1}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(26-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{26(26^n-1)-25n}{625}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=26a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-26a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<26\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log26+1}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{663}{1463}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=156-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=156-2a,\quad 39<a<78} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=78(78-a)^2(2a-78)\)。微分すると \((S^2)'=468(78-a)(52-a)\)。存在範囲で \(a=52\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=52,\quad S_{\max}=676\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(78\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=78r\)。

\[ \boxed{r=\frac{26}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-26)(x+26)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-26\) で極大、\(x=26\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }35152,\quad\text{極小値 }-35152} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-35152<a<35152} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(a=35152\) では \(f(x)-a=(x-52)(x+26)^2\)。\(a=-35152\) では \(f(x)-a=(x+52)(x-26)^2\)。

\[ \boxed{a=35152:x=-26,52;\quad a=-35152:x=-52,26} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=676/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-676/t=-676(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{676}=2,\quad(2t,0),(0,1352/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1352/t\)。その積が \(2704\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1352} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1352/t\ge104\)。等号は \(t=26\) のとき。

\[ \boxed{\min=104,\quad P=(26,26)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。