法政大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第090回
この回のテストポイント
- 第1問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第2問：等比数列と奇数番目の項の和
- 第3問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第4問：集合の包含と人数の計算
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 放物線の接線と囲まれた面積（25点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-324)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）
第2問 等比数列と奇数番目の項の和（25点）
初項18、公比2の等比数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（11点）
第3問 剰余定理と三次式の因数分解（25点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(18)=0\)、\(P(-18)=11664\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（7点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）
（3）P(x)を \(x-36\) で割った余りを求めなさい。（11点）
第4問 集合の包含と人数の計算（25点）
90人のクラスで、集合Aの人数は54人、集合Bは36人、両方に属する人数は18人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（7点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（7点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=324\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
接点は \((\pm18,324)\)。底辺の長さは \(36\)、Pから底辺までの高さは \(648\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-18)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{18}(x-18)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 等比数列と奇数番目の項の和
（1）
初項に公比のn−1乗を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(P(x)=(x-18)\(x^2+18x-324\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。