法政大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第053回
この回のテストポイント
- 第1問：合同な2円の交点と共通弦
- 第2問：重解を使う三次曲線の面積
- 第3問：絶対値の和と場合分け
- 第4問：反復試行と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 合同な2円の交点と共通弦（25点）
中心O(0,0)、A(7,0)、半径がともに7の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（7点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（11点）
第2問 重解を使う三次曲線の面積（25点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-147x\) の \(x=7\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）
第3問 絶対値の和と場合分け（25点）
\(f(x)=|x-7|+|x+7|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）
（3）不等式 \(f(x)\le 21\) を解きなさい。（11点）
第4問 反復試行と条件付き確率（25点）
公平な硬貨を7回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{7}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(7)=0\) なので \(l:y=-686\)。差は \((x-7)^2(x+14)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
区間 \([-14,7]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-\frac{147}{2}x^2+686x\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-7,7\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 21\)、\(2x\le 21\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(7\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。