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法政大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第031回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(114\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

第2問　重解を使う三次曲線の面積（25点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-1083x\) の \(x=19\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）

第3問　絶対値の和と場合分け（25点）

\(f(x)=|x-19|+|x+19|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）

（3）不等式 \(f(x)\le 57\) を解きなさい。（11点）

第4問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(19\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=114-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=114-2a,\quad \frac{57}{2}<a<57} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=57(57-a)^2(2a-57)\)。微分すると \((S^2)'=342(57-a)(38-a)\)。存在範囲で \(a=38\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=38,\quad S_{\max}=361\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(57\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=57r\)。

\[ \boxed{r=\frac{19}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(19)=0\) なので \(l:y=-13718\)。差は \((x-19)^2(x+38)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-38,-13718),\quad(19,-13718)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

区間 \([-38,19]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-38}^{19}(x^3-1083x+13718)\,dx \]

。原始関数は

\[ x^4/4-\frac{1083}{2}x^2+13718x \]

。

\[ \boxed{\frac{3518667}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{19}(f(x)+13718)\,dx=\frac{390963}{4} \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-19,19\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-19\\38&-19\le x\le19\\2x&x>19\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=38,\quad -19\le x\le19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 57\)、\(2x\le 57\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{57}{2}\le x\le \frac{57}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{19}=44750731559645106\)。全割当ては \(19!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{92079694567171}{250298560512000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/19\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。