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法政大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第013回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　合同な2円の交点と共通弦（25点）

中心O(0,0)、A(16,0)、半径がともに16の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（7点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（11点）

第2問　重解を使う三次曲線の面積（25点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-768x\) の \(x=16\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）

第3問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 32\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+256\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

第4問　反復試行と条件付き確率（25点）

公平な硬貨を16回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(8\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(8,8\sqrt{3}),\quad Q=(8,-8\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{16\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{64\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(16)=0\) なので \(l:y=-8192\)。差は \((x-16)^2(x+32)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-32,-8192),\quad(16,-8192)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

区間 \([-32,16]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-32}^{16}(x^3-768x+8192)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-384x^2+8192x\\)。

\[ \boxed{442368} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{16}(f(x)+8192)\,dx=49152 \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+256-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}256&t\le0\\256-t^2&0<t<32\\1280-64t&t\ge32\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-16\le t\le 16\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le16} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>16\) または \(t<-16\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>16\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(32)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(1280-64t\)。

\[ \boxed{16<t\le 20} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(16\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{15}{8192}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{65535}{65536}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{8}{4369}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。