北海道大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第069回
この回のテストポイント
- 第1問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第2問：双曲線の接線と不変な面積
- 第3問：三角関数の積分漸化式
- 第4問：反復試行と条件付き確率
- 第5問：空間の垂線と四面体
- 第6問：三次方程式の実数解の個数
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）
\(a_1=27,\ a_{n+1}=2a_n+27\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）
第2問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=729\\) 上の点 \(P(t,729/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第3問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{54}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{55}\) を求めなさい。（7点）
第4問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を27回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第5問 空間の垂線と四面体（16点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（4点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（4点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）
第6問 三次方程式の実数解の個数（16点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2187x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（4点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（4点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+27=2(a_n+27)\) なので \(a_n+27=54\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a_j/2^j=27(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=729/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-729/t=-729(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(1458/t\)。その積が \(2916\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+1458/t\ge108\)。等号は \(t=27\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(27\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(27\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(27\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=162\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
底面OABの面積は \(729\)、Cからこの底面までの高さは \(81\) なので体積は \(19683\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-27)(x+27)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-27\) で極大、\(x=27\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(a=39366\) では \(f(x)-a=(x-54)(x+27)^2\)。\(a=-39366\) では \(f(x)-a=(x+54)(x-27)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。