北海道大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第066回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値を含む面積の最適化
- 第2問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第3問：回転軸を変える体積計算
- 第4問：停止する試行と期待値の連立
- 第5問：線分上の点と内積・最大最小
- 第6問：剰余定理と三次式の因数分解
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 絶対値を含む面積の最適化（17点）
\(0\le a\le27\) とする。\(0\le x\le27\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）
第2問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）
複素数zが \(|z-27|=2|z+27|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）
第3問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le27\) で曲線 \(y=x(27-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第4問 停止する試行と期待値の連立（17点）
表の確率が \(1/27\)、裏の確率が \(26/27\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）
第5問 線分上の点と内積・最大最小（16点）
\(O(0,0),B(54,0),C(0,27)\) とする。Pは線分BC上を動く。
（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（4点）
（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（4点）
（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（8点）
第6問 剰余定理と三次式の因数分解（16点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(27)=0\)、\(P(-27)=39366\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（4点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）
（3）P(x)を \(x-54\) で割った余りを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le27\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(S'(a)=a^2-\frac{729}{2}\)。定義域内で \(a=27/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-27)^2+y^2=4((x+27)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
原点から中心までの距離は \(135/3\)、半径は \(108/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-27w|=2|1+27w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{27}x(27-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(27-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le729/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(27\pm\sqrt{729-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(p=1/27,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
1回の表までの平均は \(27\) 回なので合計2回の表までの平均は \(54\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 線分上の点と内積・最大最小
（1）
\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-54,27)\) とOPの内積は0。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
長方形の面積は
。端点では面積0、内部の頂点で最大。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(P(x)=(x-27)\(x^2+27x-729\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。