北海道大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第043回
この回のテストポイント
- 第1問：三項間漸化式と互いに素の証明
- 第2問：双曲線の接線と不変な面積
- 第3問：対数の評価と部分積分
- 第4問：反復試行と条件付き確率
- 第5問：等周条件と三角形の面積
- 第6問：三角関数を二次関数に置き換える
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三項間漸化式と互いに素の証明（17点）
とする。
（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）
第2問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=64\\) 上の点 \(P(t,64/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第3問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le8\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第4問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を8回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第5問 等周条件と三角形の面積（16点）
周の長さが \(48\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（4点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（4点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）
第6問 三角関数を二次関数に置き換える（16点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（4点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（4点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=8\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三項間漸化式と互いに素の証明
（1）
。初めの差は \(8\) なので \(a_{n+1}-a_n=8^n\)。初項に差の和を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入して \(1/(8-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項から \(a_{n+1}=8a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-8a_n=1\) を割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=64/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-64/t=-64(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(128/t\)。その積が \(256\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+128/t\ge32\)。等号は \(t=8\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<8\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(8\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=48-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=24(24-a)^2(2a-24)\)。微分すると \((S^2)'=144(24-a)(16-a)\)。存在範囲で \(a=16\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
半周長は \(24\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=24r\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=8\)、\(f(1)=-7\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(t-16t^2=0\) の解は0と \(1/16\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。