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北海道大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第090回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=31,\ a_{n+2}=31a_{n+1}-30a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第2問　放物線の接線と囲まれた面積（25点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-900)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(30\) 個、青玉 \(60\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第4問　三次方程式の実数解の個数（25点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2700x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=30(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(30\) なので \(a_{n+1}-a_n=30^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{30^n-1}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(30-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{30(30^n-1)-29n}{841}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=30a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-30a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=900\)。

\[ \boxed{y=60x-900,\quad y=-60x-900} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

接点は \((\pm30,900)\)。底辺の長さは \(60\)、Pから底辺までの高さは \(1800\)。

\[ \boxed{54000} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-30)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{30}(x-30)^2\,dx\)。

\[ \boxed{18000} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((30-1)/(90-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{29}{267}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{60(60-1)}{90(90-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{29}{149}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(30-1)<150-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{29}{149}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-30)(x+30)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-30\) で極大、\(x=30\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }54000,\quad\text{極小値 }-54000} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-54000<a<54000} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a=54000\) では \(f(x)-a=(x-60)(x+30)^2\)。\(a=-54000\) では \(f(x)-a=(x+60)(x-30)^2\)。

\[ \boxed{a=54000:x=-30,60;\quad a=-54000:x=-60,30} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。