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北海道大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第076回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　重解を使う三次曲線の面積（25点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-192x\) の \(x=8\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=64\\) の内部の点 \(Q(4,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（25点）

表の確率が \(1/8\)、裏の確率が \(7/8\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）

第4問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(8-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 12\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(8)=0\) なので \(l:y=-1024\)。差は \((x-8)^2(x+16)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-16,-1024),\quad(8,-1024)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

区間 \([-16,8]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-16}^{8}(x^3-192x+1024)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-96x^2+1024x\\)。

\[ \boxed{27648} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{8}(f(x)+1024)\,dx=3072 \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=4\) を円の式に代入する。\\(y^2=48\\)。

\[ \boxed{(4,\pm 4\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-4m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{64m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{64-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=8\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le8/2\)。面積の2乗は \(d^2(64-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(64-s)\) は \(0\le s\le64/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=16\sqrt{3},\quad x=4} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{64},\quad P(T=3)=\frac{7}{512}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(p=1/8,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{72} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

1回の表までの平均は \(8\) 回なので合計2回の表までの平均は \(16\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=16,\quad\text{差}=56} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<8\)。\(x(8-x)=64/4-(x-8/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,64/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<8,\quad a\le\log_2 16} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 16:2\text{個};\quad a=\log_2 16:1\text{個};\quad a>\log_2 16:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(8-x)=12\) を解く。2つの解の和は \(8\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=2,\ 6} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。