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北海道大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第070回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=23,\ a_{n+2}=23a_{n+1}-22a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第2問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(132\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（25点）

表の確率が \(1/22\)、裏の確率が \(21/22\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）

第4問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+22\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=22\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=22(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(22\) なので \(a_{n+1}-a_n=22^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{22^n-1}{21}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(22-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{22(22^n-1)-21n}{441}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=22a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-22a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=132-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=132-2a,\quad 33<a<66} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=66(66-a)^2(2a-66)\)。微分すると \((S^2)'=396(66-a)(44-a)\)。存在範囲で \(a=44\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=44,\quad S_{\max}=484\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(66\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=66r\)。

\[ \boxed{r=\frac{22}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{484},\quad P(T=3)=\frac{21}{10648}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(p=1/22,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{506} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

1回の表までの平均は \(22\) 回なので合計2回の表までの平均は \(44\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=44,\quad\text{差}=462} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=22+t-44t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=22+\frac1{176}-44(t-\frac1{88})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=22\)、\(f(1)=-21\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{3873}{176}\ (\sin\theta=\frac1{88}),\quad\min f=-21\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-44t^2=0\) の解は0と \(1/44\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{44}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。