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一橋大学 後期・数学IIIを含む 数学記述模試 第079回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=900\\) 上の点 \(P(t,900/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第2問　三角関数を二次関数に置き換える（17点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+30\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=30\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（17点）

表の確率が \(1/30\)、裏の確率が \(29/30\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）

第4問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{30+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{30n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第5問　三項間漸化式と互いに素の証明（16点）

\[ a_1=1,\ a_2=31,\ a_{n+2}=31a_{n+1}-30a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

第6問　円の弦と三角形の面積の最大化（16点）

円 \\(x^2+y^2=900\\) の内部の点 \(Q(15,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=900/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-900/t=-900(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{900}=2,\quad(2t,0),(0,1800/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1800/t\)。その積が \(3600\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1800} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1800/t\ge120\)。等号は \(t=30\) のとき。

\[ \boxed{\min=120,\quad P=(30,30)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=30+t-60t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平方完成より

\[ f=30+\frac1{240}-60(t-\frac1{120})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=30\)、\(f(1)=-29\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{7201}{240}\ (\sin\theta=\frac1{120}),\quad\min f=-29\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(t-60t^2=0\) の解は0と \(1/60\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{60}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{900},\quad P(T=3)=\frac{29}{27000}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(p=1/30,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{930} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

1回の表までの平均は \(30\) 回なので合計2回の表までの平均は \(60\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=60,\quad\text{差}=870} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{30+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{30+j/n} \]

は \(g(x)=1/(30+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{30+x}\,dx=[\frac23(30+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(31\sqrt{31}-30\sqrt{30})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{30+x}\,dx=[\log(30+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{31}{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=30(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(30\) なので \(a_{n+1}-a_n=30^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{30^n-1}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

一般項を代入して \(1/(30-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{30(30^n-1)-29n}{841}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=30a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-30a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=15\) を円の式に代入する。\\(y^2=675\\)。

\[ \boxed{(15,\pm 15\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

直線は \(mx-y-15m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{900m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{900-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=30\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le30/2\)。面積の2乗は \(d^2(900-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(900-s)\) は \(0\le s\le900/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=225\sqrt{3},\quad x=15} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。