一橋大学 後期・数学IIIを含む 数学記述模試 第074回
この回のテストポイント
- 第1問：双曲線の接線と不変な面積
- 第2問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第3問：反復試行と条件付き確率
- 第4問：区分求積と和の極限
- 第5問：重解を使う三次曲線の面積
- 第6問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=100\\) 上の点 \(P(t,100/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第2問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=10\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第3問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を10回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第4問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第5問 重解を使う三次曲線の面積（16点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-300x\) の \(x=10\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（4点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（4点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）
第6問 放物線の接線と囲まれた面積（16点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-100)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（4点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=100/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-100/t=-100(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(200/t\)。その積が \(400\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+200/t\ge40\)。等号は \(t=10\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=10\)、\(f(1)=-9\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-20t^2=0\) の解は0と \(1/20\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(10\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{10+x}\)、
は \(g(x)=1/(10+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(10)=0\) なので \(l:y=-2000\)。差は \((x-10)^2(x+20)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
区間 \([-20,10]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-150x^2+2000x\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=100\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
接点は \((\pm10,100)\)。底辺の長さは \(20\)、Pから底辺までの高さは \(200\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-10)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{10}(x-10)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。